Question

已知不等式（x+y）（

a

x

+

1

y

）≥4对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：问题等价于（x+y）（

a

x

+

1

y

）的最小值≥4，由基本不等式可得式子的最值，可得a的不等式，解不等式可得．

解答： 解：∵不等式（x+y）（

a

x

+

1

y

）≥4对任意正实数x，y恒成立，
∴只需（x+y）（

a

x

+

1

y

）的最小值≥4即可，
由基本不等式可得（x+y）（

a

x

+

1

y

）=a+1+

ay

x

+

x

y

≥a+1+2

ay x • x y

=a+1+2

a

，
∴a+1+2

a

≥4，解得a≥1，
∴正实数a的最小值为：1
故答案为：1．

点评：本题考查基本不等式求最值，属基础题．