题目内容
a、b是不全为零的实数，求证3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）至少有一个根．
考点：函数零点的判定定理
专题：函数的性质及应用
分析：可通过构造函数f（x）=ax3+bx2-（a+b）x，由f（0）=f（1）=0，且f（x）是连续函数，得到在区间（0，1）内，f（x）存在极值，从而解决问题．
解答：
解：构造函数f（x）=ax3+bx2-（a+b）x，
∵f（0）=f（1）=0，且f（x）是连续函数，
∴在区间（0，1）内，f（x）存在极值，
∴总存在x=k∈（0，1），使得f′（k）=0，
又f′（x）=3ax2+2bx-（a+b），
∴f′（k）=3ak2+2bk-（a+b）=0，
即x=k是方程3ax2+2bx-（a+b）=0的一个根
∴方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）内至少有一个根．
∵f（0）=f（1）=0，且f（x）是连续函数，
∴在区间（0，1）内，f（x）存在极值，
∴总存在x=k∈（0，1），使得f′（k）=0，
又f′（x）=3ax2+2bx-（a+b），
∴f′（k）=3ak2+2bk-（a+b）=0，
即x=k是方程3ax2+2bx-（a+b）=0的一个根
∴方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）内至少有一个根．
点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，导数的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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