Question

3．（1）已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，2），当k为何值时，
k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$平行？平行时它们是同向还是反向？
（2）设f（θ）=$\frac{2co{s}^{3}θ+si{n}^{2}（2π-θ）+sin（\frac{π}{2}+θ）-3}{2+2si{n}^{2}（\frac{π}{2}+θ）-sin（\frac{3π}{2}-θ）}$，求f（$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量共线的条件，求得k的值，从而判断这两个向量是同向还是反向．
（2）利用三角恒等变换，化简所给式子的值，从而求得f（$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：（1）∵已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，2），∴k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（k-3，2k+2），$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$=（10，-4），
要使 k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$平行，需$\frac{k-3}{10}$=$\frac{2k+2}{-4}$，即k=-$\frac{1}{3}$，
此时，$\frac{k-3}{10}$=$\frac{2k+2}{-4}$=-$\frac{1}{3}$＜0，这两个向量反向．
（2）f（θ）=$\frac{2co{s}^{3}θ+si{n}^{2}（2π-θ）+sin（\frac{π}{2}+θ）-3}{2+2si{n}^{2}（\frac{π}{2}+θ）-sin（\frac{3π}{2}-θ）}$=$\frac{{2cos}^{3}θ{+sin}^{2}θ+cosθ-3}{2+{2cos}^{2}θ+cosθ}$=$\frac{{2cos}^{3}θ+1{-cos}^{2}θ+cosθ-3}{{2cos}^{2}θ+cosθ+2}$
=$\frac{2{（cos}^{3}θ-1）-cosθ（cosθ-1）}{{2cos}^{2}θ+cosθ+2}$=$\frac{2（cosθ-1）•{（cos}^{2}θ+cosθ+1）-cosθ（cosθ-1）}{{2cos}^{2}θ+cosθ+2}$=$\frac{（cosθ-1）•（{2cos}^{2}θ+2cosθ+2-cosθ）}{{2cos}^{2}θ+cosθ+2}$
=cosθ-1，
∴f（$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}$-1=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量共线的条件，三角恒等变换，属于中档题．