Question

12．在平面内，定点A，B，C，O满足$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OC}}$|=2，$\overrightarrow{OA}•（\frac{AC}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}-\frac{AB}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}）$=$\overrightarrow{OB}•（\frac{BC}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}-\frac{BA}{{|{\overrightarrow{BA}}|}}）=0$，动点P，M满足$|{\overrightarrow{AP}}|=1，\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}，则{|{\overrightarrow{BM}}|^2}$的最大值是（　　）

• A． $\frac{43}{4}$
• B． $\frac{49}{4}$
• C． $\frac{37}{4}$
• D． $\frac{37}{2}$

Answer 1

分析 由题意，判断O是△ABC的外心，也是△ABC的内心，
得出△ABC是正三角形，求出边长；
再利用平面直角坐标系，得出点P的轨迹方程，
根据$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$得出点M的坐标表示，求|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值．

解答 解：由$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OC}}$|=2知，O是△ABC的外心；
$\overrightarrow{OA}•（\frac{AC}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}-\frac{AB}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}）$=$\overrightarrow{OB}•（\frac{BC}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}-\frac{BA}{{|{\overrightarrow{BA}}|}}）=0$，
∴$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$-$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$-$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$=0，
当$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$-$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=0时，$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，
即$\frac{|\overrightarrow{OA}|×|\overrightarrow{AC}|×cos∠DAC}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{|\overrightarrow{OA}|×|\overrightarrow{AB}|×cos∠DAB}{|\overrightarrow{AB}|}$，
∴cos∠DAC=cos∠DAB
∴∠DAC=∠DAB，
∴O点在三角形的角A平分线上；
同理，O点在三角形的角B，角C平分线上；
∴点定O的一定是△ABC的内心，如图1所示；
∴△ABC是正三角形，且边长为$\frac{2+1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$；
如图2所示，建立平面直角坐标系；则B（0，0），C（2$\sqrt{3}$，0），A（$\sqrt{3}$，3）；
∵M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，∴点P的轨迹方程为：${（x-\sqrt{3}）}^{2}$+（y-3）²=1；
令x=$\sqrt{3}$+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π），
由$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，得M（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$cosθ，$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$sinθ），
∴|$\overrightarrow{BM}$|²=${（\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}cosθ）}^{2}$+${（\frac{3}{2}+\frac{1}{2}sinθ）}^{2}$=$\frac{37}{4}$+3sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{49}{4}$；
∴|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值是$\frac{49}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积与圆的参数方程、三角函数求值问题，也考查了推理能力与计算能力，是难题．