Question

15．已知函数f（x）=|x+a|+|x+$\frac{1}{a}$|（a＞0，m∈R，m≠0）．
（1）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）证明：$f（m）+f（{-\frac{1}{m}}）≥4$．

Answer 1

分析 （1）讨论x的范围，去绝对值符号化简不等式解出；
（2）利用绝对值三角不等式证明．

解答 （1）解：当a=2时，不等式f（x）＞3即为|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|＞3．
当x＜-2时，不等式为：$-x-2-x-\frac{1}{2}＞3$，解得$x＜-\frac{11}{4}$；
当$-2≤x＜-\frac{1}{2}$时，不等式为：$x+2-x-\frac{1}{2}＞3$，无解；
当$x≥-\frac{1}{2}$时，不等式为：$x+2+x+\frac{1}{2}＞3$，解得$x＞\frac{1}{4}$．
综上，不等式f（x）＞3的解集为$\left\{{x|x＜-\frac{11}{4}或x＞\frac{1}{4}}\right\}$．
（2）证明：f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=|m+a|+|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}+a$|+|-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|
≥|m+a+m+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{m}$-a+$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{a}$|=2|m+$\frac{1}{m}$|，
∵|m+$\frac{1}{m}$|=|m|+|$\frac{1}{m}$|≥2，
∴2|m+$\frac{1}{m}$|≥4，
即f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）≥4．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三解不等式的应用，属于中档题．