Question

11．设锐角△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若$\sqrt{3}（{acosB+bcosA}）=2csinC，b=1$，则 c的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 先利用正弦定理把已知等式中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得sinC，进而可求C，结合已知可求B的范围，可求sinB的范围，利用正弦定理即可解得c的取值范围．

解答 解：∵$\sqrt{3}（{acosB+bcosA}）=2csinC$，
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$（sinAcosB+sinBcosA）=2sin²C，
∴$\sqrt{3}$sin（A+B）=$\sqrt{3}$sinC=2sin²C，
∵sinC≠0，
∴解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由C为锐角，可得C=$\frac{π}{3}$，

又在锐角△ABC中，有$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，可得$\frac{π}{6}$$＜B＜\frac{π}{2}$，
∴sinB∈（$\frac{1}{2}$，1），
∵b=1，
∴由正弦定理可得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sinB}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用，考查了学生运用所学知识解决问题的能力，属于基础题．