Question

17．已知x＞0，y＞0，且2x+5y=20．
（1）求u=lgx+lgy的最大值；
（2）求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质即可得出．
（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0，∴由基本不等式，得$2x+5y≥2\sqrt{10xy}$．
∵2x+5y=20，∴$2\sqrt{10xy}≤20，xy≤10$，当且仅当2x=5y时，等号成立．
因此有$\left\{{\begin{array}{l}{2x+5y=20}\\{2x=5y}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}}\right.$，此时xy有最大值10．
∴u=lgx+lgy=lg（xy）≤lg10=1．
∴当x=5，y=2时，u=lgx+lgy有最大值1．
（2）∵x＞0，y＞0，∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=（{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}）•\frac{2x+5y}{20}=\frac{1}{20}（{7+\frac{5y}{x}+\frac{2x}{y}}）$$≥\frac{1}{20}（{7+2\sqrt{\frac{5y}{x}•\frac{2x}{y}}}）=\frac{{7+2\sqrt{10}}}{20}$，
当且仅当$\frac{5y}{x}=\frac{2x}{y}$时，等号成立．
由$\left\{{\begin{array}{l}{2x+5y=20}\\{\frac{5y}{x}=\frac{2x}{y}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{10\sqrt{10}-20}}{3}}\\{y=\frac{{20-4\sqrt{10}}}{3}}\end{array}}\right.$．
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为$\frac{{7+2\sqrt{10}}}{20}$

点评 本题考查了基本不等式的性质及其应用、方程的解法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．