Question

已知动点P到两定点M（-1，0），N（1，0）距离之比为

2

．
（1）求动点P轨迹C的方程；
（2）若过点N的直线l被曲线C截得的弦长为2

6

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设P的坐标为（x，y），由题意点P到两定点M（-1，0）、N（1，0）距离的比为

2

，结合两点间的距离，化简整理得动点P轨迹C的方程；
（2）分类讨论，利用点N的直线l被曲线C截得的弦长为2

6

，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）设P的坐标为（x，y），由题意，
∵动点P到两定点M（-1，0），N（1，0）距离之比为

2

∴

(x+1)2+y2

=

2

•

(x-1)2+y2

，
整理得x²+y²-6x+1=0；
（2）x²+y²-6x+1=0可化为（x-3）²+y²=8，
斜率不存在时，直线方程为x=1，y=±2，不满足题意；
斜率存在时，设方程为y=k（x-1），
∵过点N的直线l被曲线C截得的弦长为2

6

，
∴圆心到直线的距离为

2

，
∴

|2k|

k2+1

=

2

，
∴k=±1，
∴直线l的方程为y=±（x-1）．

点评：本题考查直线的方程，注意结合题意，选择直线方程的合适的形式，进行整理变形、求解．