Question

若函数y=f（x）（x∈D）同时满足以下条件：
①它在定义域D上是单调函数；
②存在区间[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我们将这样的函数称作“A类函数”．
（1）已知函数f（x）=2x-2^x．x∈（0，+∞），求证：f（1）=f（2）；
（2）函数f（x）=2x-2^x．x∈（0，+∞）是不是“A类函数”？如果是，试找出[a，b]；如果不是，试说明理由；
（3）求使得函数f（x）=12x-kx+1，x∈（0，+∞）是“A类函数”的常数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：创新题型

分析：（1）根据函数解析式求f（1）与f（2）的值，判断相等还是不相等．
 （2）根据f（1）与f（2）值判断函数在（0，+∞）不是单调函数，即可判断函数不是“A类函数”（3）当k＜0时，在（0，+∞）上不是单调函数，所以不是“A类函数”，
当k≥0时在（0，+∞）上是单调递增函数，如果是“A类函数”则f（x）=x在（0，+∞）上有两个不等根，构造函数求出k的范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2x-2^x．x∈（0，+∞），f（1）=0，f（2）=0∴f（1）=f（2）
（2）根据（1）问可以知道不是单调函数，f（x）不是“A类函数”
（3）当k＜0时，在（0，+∞）上不是单调函数，所以不是“A类函数”，当k≥0时在（0，+∞）上是单调递增函数，因为f（x）是A类函数，所以方程f（x）=x在（0，+∞）上有两个不等实根．
化简得：k=-

1

2

x²+x，x∈（0，+∞），
令g（x）=-

1

2

x²+x，x∈（0，+∞），y=k，据两个图象有两个交点，f（1）=

1

2

所以k的范围为（0，

1

2

），

点评：本题是一道新概念题，做着这道题只要抓住它的两个条件，结合函数的图象和性质就很容易能够解决．