Question

（理）设f（x）=kx-

k

x

-21nx．
（1）若f'（2）=

1

4

，求f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）内为单调递增函数，求k的取值范围；
（3）若k=1时，求证：n（n+1）1n（1+

1

n

）＜n+

1

2

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求出切点和切线的斜率，即可得到切线方程；
（2）令h（x）=kx²-2x+k，要使f（x）在区间[2，+∞）内为单调递增函数，只需h（x）在[2，+∞）内不小于0恒成立．运用分离参数，得到k≥

2x

x2+1

在[2，+∞）内恒成立．求出右边的最小值，令k不小于它；
（3）当k=1时，f（x）在（0，+∞）单调递增，则当x＞1时，f（x）=x-

1

x

-2lnx＞0，令x=

n+1

n

＞1（n∈N*），化简整理即可得证．

解答： （1）解：f（x）=kx-

k

x

-21nx．f′（x）=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，
∵f′（2）=

1

4

，∴k=1，∵f（2）=

3

2

-2ln2，
∴f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：y=

1

4

x+1-2ln2；
（2）解：f′（x）=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，令h（x）=kx²-2x+k，
要使f（x）在区间[2，+∞）内为单调递增函数，
只需h（x）在[2，+∞）内不小于0恒成立．
h（x）≥0，即kx²-2x+k≥0，即k≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在[2，+∞）内恒成立．
∵x≥2，∴x+

1

x

≥

5

2

，∴

2

x+ 1 x

≤

4

5

，
∴k≥

4

5

，即k的取值范围是[

4

5

，+∞）；
（3）证明：当k=1时，f（x）=x-

1

x

-2lnx，f′（x）≥0，
f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴当x＞1时，f（x）=x-

1

x

-2lnx＞f（1）=0，
令x=

n+1

n

＞1（n∈N*），得f（

n+1

n

）=

n+1

n

-

n

n+1

-2ln

n+1

n

＞0
∴2n+1-2n（n+1）ln

n+1

n

＞0，∴2n（n+1）ln

n+1

n

＜2n+1，
则n（n+1）1n（1+

1

n

）＜n+

1

2

（n∈N^*）．

点评：本题考查函数的导数的综合应用：求切线方程和单调区间及运用，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题考查运算推理能力，属于中档题．