Question

已知命题p：1-a•2^x≥0在x∈（-∞，0]恒成立，命题q：?x∈R，ax²-x+a＞0．若命题p或q为真，命题p且q为假，求实数a的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据不等式恒成立的条件，分别求出p，q成立的等价条件，利用复合命题之间的关系即可求出实数a的范围．

解答： 解：命题p：1-a•2^x≥0在x∈（-∞，0]上恒成立．
即：a≤(

1

2

)x在x∈（-∞，0]上恒成立．
∵（

1

2

）^x≥1，x∈（-∞，0]
∴a≤1，
即命题p：a≤1．
命题q：?x∈R，ax²-x+a＞0．
显然当a≤0时，不合题意，
则：

a＞0 (-1)2-4a2＜0

，
即a＞

1

2

．
∴命题q：a＞

1

2

，
∵p或q为真，p且q为假
∴p和q一真一假，
∴

a≤1 a≤ 1 2

或

a＞1 a＞ 1 2

，
即a≤

1

2

或a＞1，
∴a的取值范围为：a≤

1

2

或a＞1．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用不等式恒成立的等价条件是解决本题的关键．