Question

3．已知函数f（x）=（m²+m）x${\;}^{{m}^{2}-2m-1}$（m∈R），分别求m的取值范围．
（1）f（x）为正比例函数；
（2）f（x）为反比例函数；
（3）f（x）在（0，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）为正比例函数；列出方程求出m的范围即可．
（2）利用f（x）为反比例函数；列出方程求解即可．
（3）f（x）在（0，+∞）上为增函数．利用组合数的定义求解即可．

解答 解：（1）f（x）=（m²+m）x${\;}^{{m}^{2}-2m-1}$，
f（x）为正比例函数；可知：m²-2m-1=1，并且m²+m≠0，解得m=1±$\sqrt{3}$．
（2）函数f（x）=（m²+m）x${\;}^{{m}^{2}-2m-1}$（m∈R），f（x）为反比例函数；
可知：m²-2m-1=-1，并且m²+m≠0，解得m=2．
（3）函数f（x）=（m²+m）x${\;}^{{m}^{2}-2m-1}$，f（x）在（0，+∞）上为增函数．
可得函数f′（x）=（m²+m）（m²-2m-1）${x}^{{m}^{2}-2m-2}$＞0在（0，+∞）上恒成立．
即：（m²+m）（m²-2m-1）＞0，可得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m＞0}\\{{m}^{2}-2m-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m＜0}\\{{m}^{2}-2m-1＜0}\end{array}\right.$，
解得：m＜-1或m$＞1+\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}＜$m＜0．

点评 本题考查函数的解析式的应用，函数的导数与函数的单调性的关系，考查计算能力以及转化思想的应用．