Question

正三棱锥的边长为a．
（1）它的顶点都在球上，求球的半径；
（2）球在三棱锥里面时，与三棱锥的面都接触，求球的半径．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）三棱锥就是正四面体，把正四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，就是球的直径，即可求出球的半径；
（2）利用等体积，计算球的半径．

解答： 解：（1）三棱锥就是正四面体，把正四面体补成正方体，则正方体的棱长是

2

2

a，正方体的对角线长为：

6

2

a，此就是外接球的直径，可得球的半径为：

6

4

a；
（2）正三棱锥的体积为（

2

2

a）³-4×

1

3

×

1

2

×（

2

2

a）³=

2

12

a³，
设球的半径为r，则

2

12

a³=4×

1

3

×

3

4

a²r，
∴r=

6

12

a．

点评：本题查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决．