Question

设集合A={x|-2≤x≤a}，集合B={y|y=x²，x∈A}；
（1）化简集合B；
（2）设集合C={z|z=2x+3，x∈A}，是否存在实数a，使得B⊆C．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：（1）根据二次函数y=x²的单调性以及图象的顶点对a进行讨论，从而求出B：a＜-2，B=∅；-2≤a≤0，B=[a²，4]；0＜a≤2，B=[0，4]；a＞2，B=[0，a²]；
（2）对应着（1）中的a的取值，使集合B⊆C，时得到限制a的不等式，解不等式即可判断是否存在a，以及求出a的范围，使得B⊆C．

解答： 解：（1）若-2＞a，即a＜-2，A=∅，∴B=∅；
若-2≤a≤0，y=x²在[-2，a]上单调递减，∴a²≤y≤4，∴B=[a²，4]；
若0＜a≤2，B=[0，4]；
若a＞2，B=[0，a²]；
（2）若a＜-2，A=B=C=∅，符合B⊆C；
若a≥-2，C=[-1，2a+3]；
①若-2≤a≤0，-1≤2a+3≤3，B=[a²，4]，不满足B⊆A；
②若0＜a≤2，B=[0，4]，要使B⊆C，则2a+3≥4，即

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≤a≤2；
③若a＞2，B=[0，a²]，要使B⊆C，则2a+3≥a²，解得2＜a≤3；
∴存在a∈（-∞，-2）∪[

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2

，3]，使B⊆C．

点评：考查描述法表示集合，二次函数的值域，二次函数的单调性，一次函数的单调性，根据函数单调性求函数值域，以及子集的概念．