Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a_n+1=2S_n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的各项均为正数，且$\frac{b_n}{2}$是$\frac{n}{a_n}$与$\frac{n}{{{a_{n+2}}}}$的等比中项，求b_n的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的定义与通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）当n≥2时，由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+2，
两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，a_n+1=3a_n，
当n=1时，a₂=2S₁+2=2a₁+2=6，a₂=3a₁，
∵a₁=2≠0，∴a_n≠0．
故当n≥1时，$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=3$，则数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴${a_n}=2×{3^{n-1}}$．
（2）$\frac{b_n}{2}=\sqrt{\frac{n}{a_n}×\frac{n}{{{a_{n+2}}}}}=\sqrt{\frac{n}{{2×{3^{n-1}}}}×\frac{n}{{2×{3^{n+1}}}}}=\frac{n}{{2×{3^n}}}$，${b_n}=\frac{n}{3^n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+…+\frac{n}{3^n}$，①
则$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+…+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，②
则①-②得：$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$
$2{T_n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{{{3^{n-1}}}}-\frac{n}{3^n}=\frac{{1-\frac{1}{3^n}}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{3^n}=\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{2•{3^n}}}$．
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{4•{3^n}}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．