题目内容
14．若函数$f（x）=\frac{{a{x^2}+4}}{bx}$，且f（1）=5，f（2）=4．（1）求a，b的值，写出f（x）的表达式；
（2）求证f（x）在[2，+∞）上是增函数．
分析 本题属于函数章节基础题型．第1题直接代入f（1）=5，f（2）=4列出方程组即可；第2题则可直接根据函数单调性的定义来证明．
解答 解：（1）由题意f（1）=5，f（2）=4知，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+4}{b}=5}\\{\frac{4a+4}{2b}=4}\end{array}\right.$，⇒$\left\{\begin{array}{l}{a+2=3b}\\{4a+5=9b}\end{array}\right.$⇒a=1，b=1．
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$
（2）令2≤x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=$\frac{{x}_{1}^{2}+4}{{x}_{1}}-\frac{{x}_{2}^{2}+4}{{x}_{2}}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）-4（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-4）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
∵x1-x2＜0，x1x2 ≥4
∴f（x1）-f（x2）＜0⇒f（x1）＜f（x2）
∴得证 f（x） 在[2，+∞）上是增函数．
点评 利用函数单调性的定义来证明函数在特定区间上的单调性在学习过程中是必须要掌握的．
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