Question

15．已知a，b是非零实数，f（x）=e^bx-ax，若对任意的，x∈R，f（x）≥1恒成立，则$\frac{b}{a}$=（　　）

• A． 2
• B． ln2
• C． 1
• D． $\root{3}{2}$

Answer 1

分析 对f（x）求导，并令导函数为零，可得极值点$x=\frac{{ln\frac{a}{b}}}{b}$，代入函数f（x），则$f（\frac{{ln\frac{a}{b}}}{b}）=\frac{a}{b}（1-ln\frac{a}{b}）$=1（极小值，因为f（x）的二阶导数恒大于0），得到$1-ln\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$，考察方程$1-lnx=\frac{1}{x}$，即$lnx=1-\frac{1}{x}$，画出函数y=lnx和函数$y=1-\frac{1}{x}$，可求得x=1，即可得出结论．

解答 解：对f（x）求导，f′（x）=be^bx-a，
令导函数为零，即f′（x）=be^bx-a=0，可得极值点$x=\frac{{ln\frac{a}{b}}}{b}$，
代入函数f（x），则$f（\frac{{ln\frac{a}{b}}}{b}）=\frac{a}{b}（1-ln\frac{a}{b}）$=1，得到$1-ln\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$，
考察方程$1-lnx=\frac{1}{x}$，即$lnx=1-\frac{1}{x}$，
画出函数y=lnx和函数$y=1-\frac{1}{x}$，可求得x=1，
因而$\frac{b}{a}=1$．
故选：C．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．