Question

已知数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a3+…+3^n-1a_n=n
（1）求a_n
（2）设b_n=2a_n求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，可得当n≥2时，3^n-1a_n=n-（n-1）=1，即可得出a_n．
（2）b_n=2a_n=

2

3n-1

，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，
∴当n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=n-1，
∴两式作差得3^n-1a_n=n-（n-1）=1，
∴an=

1

3n-1

，
当n=1时，a₁=1也成立．
∴a_n=

1

3n-1

．
（2）b_n=2a_n=

2

3n-1

，
∴S_n=2+

2

3

+

2

32

+…+

2

3n-1

=2×

1- 1 3n

1- 1 3

=3-

1

3n-1

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．