Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，当a，b∈（0，+∞）时，均有f（a•b）=f（a）+f（b），已知f（2）=1．求：
（1）f（1）和f（4）的值；
（2）不等式f（x²）＜2f（4）的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（a•b）=f（a）+f（b），令a=b=1得，令a=b=2，从而解得．
（2）化简f（x²）＜2f（4）得f（x²）＜f（16）；从而由函数的单调性求解．

解答： 解：（1）∵f（a•b）=f（a）+f（b），
令a=b=1得，f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
令a=b=2，则f（4）=f（2）+f（2）=2；
（2）∵f（x²）＜2f（4），
∴f（x²）＜f（16）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴0＜x²＜16；
故-4＜x＜0或0＜x＜4；
故不等式f（x²）＜2f（4）的解集为（-4，0）∪（0，4）．

点评：本题考查了抽象函数的应用及单调性的应用，属于基础题．