题目内容
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的边长，且a2-2bccosA=（b+c）2．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC=1，b=2，求△ABC的面积．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC=1，b=2，求△ABC的面积．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：三角函数的求值,解三角形
分析：（Ⅰ）利用条件结合余弦定理，可求A的大小；
（Ⅱ）利用和差的三角函数求出b=c=2，再利用三角形的面积公式可得结论．
（Ⅱ）利用和差的三角函数求出b=c=2，再利用三角形的面积公式可得结论．
解答：
解：（Ⅰ）∵a2-2bccosA=（b+c）2．整理可得：cosA=
，
又∵由余弦定理可知：cosA=
，①
∴
=
，整理可得：b2+c2-a2=-bc，代入①可得cosA=-
，
∵0＜A＜π
∴∠A=
．-----------------（4分）
（Ⅱ）∵sinB+sinC=1，
∴sinB+sin（
-B）=1，-----------------（6分）
∴sinB+sin
cosB-cos
sinB=1，
∴sin
cosB+cos
sinB=1，
∴sin（B+
）=1----------------（8分）
又∵B为三角形内角，故B=C=30°．
所以b=c=2-----------------（10分）
所以S△ABC=
bcsinA=
-----------------（12分）
| a2-b2-c2-2bc |
| 2bc |
又∵由余弦定理可知：cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
∴
| a2-b2-c2-2bc |
| 2bc |
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
∵0＜A＜π
∴∠A=
| 2π |
| 3 |
（Ⅱ）∵sinB+sinC=1，
∴sinB+sin（
| π |
| 3 |
∴sinB+sin
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴sin
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴sin（B+
| π |
| 3 |
又∵B为三角形内角，故B=C=30°．
所以b=c=2-----------------（10分）
所以S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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根据下面的伪代码，写出执行结果（ ）
| A、10 | B、15 | C、45 | D、55 |
已知直线a，平面α、β，且a?α．①α⊥β；②a⊥β；③a∥α，以这三个条件中的两个为题设，余下一个为结论组成命题，其中真命题有（ ）
| A、0个 | B、1个 | C、2个 | D、3个 |
函数y=sin
π的单调递增区间是（ ）
| x-1 |
| 2 |
| A、[4kπ，（4k+1）π]（k∈Z） |
| B、[4k，4k+2]（k∈Z） |
| C、[2kπ，（2k+2）π]（k∈Z） |
| D、[2k，2k+2]（k∈Z） |