题目内容

12．在等比数列{an}中，公比q＞1，a2=2，前三项和S3=7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=log2an，cn=$\frac{1}{{b}_{n+1}•{b}_{n+2}}$，设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．

分析 （1）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质、裂项求和方法即可得出．

解答 （1）解：q＞1时，a2=a1q=2；S3=a1（1+q+q2）=7，解得a1=1，q=2；
∴an=2n-1．
（2）证明：bn=log2an=n-1，
cn=$\frac{1}{{b}_{n+1}•{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴Tn=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、对数的运算性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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