Question

17．设a=${∫}_{1}^{{e}^{2}}$$\frac{1}{x}$dx，则二项式（x+$\frac{a}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中的常数项是120．

Answer 1

分析 求定积分得到a的值，再利用二项式定理把（2x-$\frac{1}{x}$）⁵ 展开，可得（x+$\frac{a}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中的常数项．

解答 解：∵a=${∫}_{1}^{{e}^{2}}$$\frac{1}{x}$dx=lnx${|}_{1}^{{e}^{2}}$=2，则二项式（x+$\frac{a}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵=（x+$\frac{2}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵
=（x+$\frac{2}{x}$）•（${C}_{5}^{0}$•（2x）⁵+${C}_{5}^{1}$•（2x）⁴•（-$\frac{1}{x}$）+${C}_{5}^{2}$•（2x）³•${（-\frac{1}{x}）}^{2}$+${C}_{5}^{3}$•（2x）²•${（-\frac{1}{x}）}^{3}$+${C}_{5}^{4}$•（2x）•${（-\frac{1}{x}）}^{4}$+${C}_{5}^{5}$（-$\frac{1}{x}$）⁵ ，
=（x+$\frac{2}{x}$）•（32x⁵-80x³+80x-40•$\frac{1}{x}$+10•$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{1}{{x}^{5}}$），
故展开式中的常数项为-40+2•80=120，
故答案为：120．

点评 本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．