Question

设集合M=[0，1），N=[1，2），函数f(x)=

2x       (x∈M) 4-2x  (x∈N)

．
（1）若x∈M，g（x）=f²（x）-2f（x）+a，且g（x）的最小值为1，求实数a的值；
（2）若x₀∈M，且f（f（x₀））∈M，求x₀的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若x∈M，令t=2^x，则y=（t-1）²+a-1，且t∈[1，2），再利用二次函数的性质求得函数的最小值，再根据函数的最小值为1，求得a的值．
（2）当x∈M，f（x）∈[1，2）；当x∈N，f（x）∈[0，2]，令t=f（x₀），则f（t）∈M，即0≤f（t）≤1，求得t的范围，可得f（x₀）的范围，从而求得x₀的取值范围．

解答： 解：（1）若x∈M，令t=2^x，则y=t²-2t+a=（t-1）²+a-1，且t∈[1，2），
故当t=1时，函数取得最小为a-1=1，∴a=2．
（2）当x∈M，f（x）=2^x∈[1，2）；当x∈N，f（x）=4-2x∈[0，2]，
令t=f（x₀），∴f（t）∈M．
∵0≤f（t）≤1，∴0≤4-2t＜1，∴

3

2

＜t＜3，
∴

3

2

＜f(x0)＜α，∴

3

2

＜2x0＜2，∴log2

3

2

＜x0＜1，即x₀的取值范围为（log2

3

2

，1）．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的值域，注意换元过程中变量范围的改变，属于中档题．