题目内容
已知数列{xn}，{yn}满足：x1=x2=1，y1=y2=2，并且
=λ•
，
≥λ•
（λ为非零参数，n=2，3，4…）
（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明：
≤
(n∈N*)；
（3）当λ＞1时，证明：
+
+…+
＜
．
| xn+1 |
| xn |
| xn |
| xn-1 |
| yn+1 |
| yn |
| yn |
| yn-1 |
（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明：
| xn+1 |
| yn+1 |
| xn |
| yn |
（3）当λ＞1时，证明：
| x1-y1 |
| x2-y2 |
| x2-y2 |
| x3-y3 |
| xn-yn |
| xn+1-yn+1 |
| λ |
| λ-1 |
考点：数列与不等式的综合,数列递推式
专题：证明题,综合题,不等式的解法及应用
分析：（1）依题意，
=λ
，把x1=x2=1代入可求得x3=λ，同理可求x4=λ3，x5=λ6，利用等比中项的性质即可求得参数λ的值；
（2）当λ＞0时，
≥λ
≥λ2•
≥…≥λn-1•
=λn-1，同理可求
=λn-1，进而可使结论得证；
（3）当λ＞1时，可求得
≥
，整理可得
≥
，代入所证关系式，即可证得结论成立．
| x3 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
（2）当λ＞0时，
| yn+1 |
| yn |
| yn |
| yn-1 |
| yn-1 |
| yn-2 |
| y2 |
| y1 |
| xn+1 |
| xn |
（3）当λ＞1时，可求得
| yn+1-xn+1 |
| xn+1 |
| yn-xn |
| xn |
| yn+1-xn+1 |
| yn-xn |
| xn+1 |
| xn |
解答：
解：（1）n=2时，
=λ
，把x1=x2=1代入得x3=λ，
同理可得x4=λ3，x5=λ6，
∵x1，x3，x5成等比数列，
∴x32=x1•x5，即λ2=λ6，
又λ≠0，
∴λ=±1；
（2）∵λ＞0，x1=x2=1，y1=y2=2，
∴xn＞0，yn＞0，
由不等式的性质得，
≥λ
≥λ2•
≥…≥λn-1•
=λn-1，
同理可得
=λn-1，
∴
≥λn-1=
，
∴
≤
（n∈N*）；
（3）当λ＞1时，由（1）知yn＞xn≥1（n∈N*），
由（2）知
≤
（n∈N*）；
∴
≥
，
∴
≥
（n∈N*）；
∴
+
+…+
≤
+
+
+…+
=
＜
．
| x3 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
同理可得x4=λ3，x5=λ6，
∵x1，x3，x5成等比数列，
∴x32=x1•x5，即λ2=λ6，
又λ≠0，
∴λ=±1；
（2）∵λ＞0，x1=x2=1，y1=y2=2，
∴xn＞0，yn＞0，
由不等式的性质得，
| yn+1 |
| yn |
| yn |
| yn-1 |
| yn-1 |
| yn-2 |
| y2 |
| y1 |
同理可得
| xn+1 |
| xn |
∴
| yn+1 |
| yn |
| xn+1 |
| xn |
∴
| xn+1 |
| yn+1 |
| xn |
| yn |
（3）当λ＞1时，由（1）知yn＞xn≥1（n∈N*），
由（2）知
| xn+1 |
| yn+1 |
| xn |
| yn |
∴
| yn+1-xn+1 |
| xn+1 |
| yn-xn |
| xn |
∴
| yn+1-xn+1 |
| yn-xn |
| xn+1 |
| xn |
∴
| x1-y1 |
| x2-y2 |
| x2-y2 |
| x3-y3 |
| xn-yn |
| xn+1-yn+1 |
| 1 |
| λ0 |
| 1 |
| λ |
| 1 |
| λ2 |
| 1 |
| λn-1 |
1-(
| ||
1-
|
| λ |
| λ-1 |
点评：本题以数列的递推关系为载体，结合等比数列的等比中项及前n项和的公式，运用不等式的性质及证明等基础知识进行运算和推理论证．
练习册系列答案
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设a=50.3，b=0.35，c=log50.3+log52，则a，b，c的大小关系是（ ）
| A、b＜c＜a |
| B、a＜b＜c |
| C、c＜a＜b |
| D、c＜b＜a |
过椭圆C：
+
=1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|（λ≥1）．当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（ ）
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
A、（0，
| ||||||||
B、（
| ||||||||
C、[
| ||||||||
D、（
|