Question

19．$\overrightarrow{m}$=（sin（x-$\frac{π}{3}$），1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，1）
（1）若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，求tanx值
（2）若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最值？

Answer 1

分析 （1）直接利用向量共线的坐标运算求得tanx值；
（2）写出数量积，再由辅助角公式化积，由x的范围求得相位的范围，则f（x）的最值可求．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（sin（x-$\frac{π}{3}$），1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，1），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴$sin（x-\frac{π}{3}）=cosx$，即$\frac{1}{2}sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=cosx$，则tanx=$\sqrt{3}+2$；
（2）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$sin（x-\frac{π}{3}）cosx+1=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）+1-\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]，
则f（x）∈[$1-\frac{\sqrt{3}}{2}，1+\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴f（x）的最大值为$1-\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值为1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．