Question

15．已知数列{a_n}满足a_n+1=qa_n+2q-2（q为常数，|q|＜1），若a₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，则a₁=（　　）

• A． -2
• B． -2或126
• C． 128
• D． 0或128

Answer 1

分析 观察已知式子，移项变形为a_n+1+2=q（a_n+2），从而得到a_n+2与a_n+1+2的关系，分a_n=-2和a_n≠-2讨论，当a_n≠-2时构造公比为q的等比数列{a_n+2}，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=qa_n+2q-2（q为常数，|q|＜1），
∴a_n+1+2=q（a_n+2），n=1，2，…，
下面对a_n是否为2进行讨论：
①当a_n=-2时，显然有a₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，
此时a₁=-2；
②当a_n≠-2时，{a_n+2}为等比数列，且q=$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$，（q为常数，|q|＜1），
又因为a₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，
所以a₃+2，a₄+2，a₅+2，a₆+2∈{-16，-4，0，8，32}，
因为a_n≠-2，所以a_n+2≠0，
又因为|q|＜1，
从而a₃+2=32，a₄+2=-16，a₅+2=8，a₆+2=-4，
故有a₃=30，a₄=-18，a₅=6，a₆=-6，且q=-$\frac{1}{2}$，
代入a_n+1=qa_n+2q-2，
得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=-\frac{1}{2}{a}_{2}-3}\\{{a}_{2}=-\frac{1}{2}{a}_{1}-3}\end{array}\right.$，从而可得到a₂=-66，a₁=126；
综上所述，a₁=-2或126，
故选：B．

点评 本题考查数列的递推式，对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解，注意解题方法的积累，属于难题．