Question

20．在数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1+S_n=n²+2n（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式是${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由a_n+1+S_n=n²+2n，得a_n+S_n-1=（n-1）²+2（n-1）（n≥2），两式作差可求得a_n+1，进而求得a_n，注意n的取值范围验证a₁，a₂后得答案．

解答 解：由a_n+1+S_n=n²+2n，得${a}_{n}+{S}_{n-1}=（n-1）^{2}+2（n-1）$（n≥2），
两式作差得：a_n+1=2n+1=2（n+1）-1，∴a_n=2n-1（n≥3），
又a₁=0，a₂=3，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式及数列通项公式的求解，正确理解a_n与S_n间的关系是解决本题的关键，是中档题．