Question

5．已知命题p：$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{m-4}$=1表示双曲线，命题q：$\frac{{x}^{2}}{m+2}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1表示焦点在y轴上的椭圆．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（3）若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）命题p为真命题，则（m-1）（m-4）＜0，解出即可．
（2）命题q为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞0}\\{6-m＞0}\\{6-m＞m+2}\end{array}\right.$，解出即可．
（3）由命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，可得命题p与q一真一假．解出即可．

解答 解：（1）命题p为真命题，则（m-1）（m-4）＜0，
∴1＜m＜4．
∴实数m的取值范围是（1，4）．
（2）命题q为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞0}\\{6-m＞0}\\{6-m＞m+2}\end{array}\right.$，
∴-2＜m＜2．
∴实数m的取值范围是（-2，2）．
（3）∵命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，
∴命题p与q一真一假．
①若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜4}\\{m≤-2或m≥2}\end{array}\right.$，得2≤m＜4；
②p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m≤1或m≥4}\\{-2＜m＜2}\end{array}\right.$，得-2＜m≤1．
综上可知，m的取值范围是（-2，1]∪[2，4）．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．