Question

3．已知△ABC的两边AC=1，AB=2，∠A的平分线与BC边交于点D，AD=1，求△ABC的面积．（提示：下面结论可以直接应用无需证明．结论：在△ABC中，∠A的平分线与BC边交于点D，则有$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$）．

Answer 1

分析 由AD为角平分线，利用角平分线性质列出比例式，找出BD与CD关系，设BD=2x，DC=x，利用余弦定理表示出cos∠ADB与-cos∠ADC，代入cos∠ADB=-cos∠ADC，求出x的值，确定出cos∠BAC的值，进而求出sin∠BAC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：∵AD为∠BAC的平分线，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=2，
设BD=2x，DC=x，
∵cos∠ADB=-cos∠ADC=$\frac{1+4{x}^{2}-4}{4x}$=-$\frac{1+{x}^{2}-1}{2x}$，
整理得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（负值舍去），
∴cos∠BAC=$\frac{1+4-9{x}^{2}}{4}$=$\frac{1}{8}$，
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×2sinA=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．