Question

已知函数f（x）=ax²-bx+1．
（Ⅰ）若f（x+1）-f（x）=2x，求a，b的值；
（Ⅱ）若b=a+2，且f（x）在（-2，-l）内恰有-个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x+1）-f（x）=2ax+a-b=2x，恒等式成立问题，列方程．（2）根据二次函数的零点判断，分a=0．a≠0，讨论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax²-bx+1．
f（x+1）-f（x）=2x，
∴f（x+1）-f（x）=2ax+a-b，
∴2x=2ax+a-b，
故a=1，b=1
（2）∵f（x）=ax²-bx+1，b=a+2，
∴f（x）=ax²-（a+2）x+1，
∵f（x）在（-2，-l）内恰有-个零点，
∴当a=0时，f（x）=-2x+1，零点为

1

2

∉（-2，-l）内，
当a≠0时，△=a²+4＞0，对称轴x=

1

2

+

1

a

，
∴f（-2）f（-1）＜0，
即（6a+5）（2a+3）＜0
-

3

2

＜a＜-

5

6

，
故实数a的取值范围：-

3

2

＜a＜-

5

6

点评：本题考查了函数的性质，化简运算，函数的零点判断问题，属于中档题．