Question

以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，A、B、M是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）．若存在锐角θ，使

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，则直线OA、OB的斜率乘积为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：首先，可以设椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），从而得到

OM

的坐标表示，然后，再根据M点在该椭圆上，建立关系式，结合A、B点在也该椭圆上，得到

x 2 1

2b2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

2b2

+

y 2 2

b2

=1，从而得到相应的结果．

解答： 解：由题意可设椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

⇒M(cosθ•x1+sinθ•x2，cosθ•y1+sinθ•y2)
因为M点在该椭圆上，
∴

(cosθ•x1+sinθ•x2)2

2b2

+

(cosθ•y1+sinθ•y2)2

b2

=1，则

cos2θ• x 2 1 +sin2θ• x 2 2 +2sinθcosθ•x1x2 2b2 + cos2θ• y 2 1 +sin2θ• y 2 2 +2sinθcosθ•y1y2 b2 =1 ⇒cos2θ( x 2 1 2b2 + y 2 1 b2 )+sin2θ( x 2 1 2b2 + y 2 1 b2 )+ 2sinθcosθ•x1x2 2b2 + 2sinθcosθ•y1y2 b2 =1

又因为A、B点在也该椭圆上，
∴

x 2 1

2b2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

2b2

+

y 2 2

b2

=1
∴

2sinθcosθ•x1x2

2b2

+

2sinθcosθ•y1y2

b2

=0⇒

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
即直线OA、OB的斜率乘积为-

1

2

，
同理当椭圆方程为

y2

2b2

+

x2

b2

=1时直线OA、OB的斜率乘积为-2．
故答案为：-

1

2

或-2．

点评：本题重点考查了平面向量的坐标运算，注意审题仔细，本题的表述应说清楚O是坐标原点，且要交待椭圆的位置是以x轴、y轴为对称轴，属于中档题．