Question

已知直线Ax+By+C=0与圆x²+y²=1相交于P，Q两点，其中A²，C²，B²成等差数列，O为坐标原点，则

OP

•

PQ

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,直线与圆

分析：由题意，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²=2联立，消去y，得到x的一元二次方程，求得x₁x₂；同理，可求得y₁y₂；从而求出

OP

•

PQ

的值．

解答： 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则由方程组

Ax+By+C=0 x2+y2=1

消去y，
得（A²+B²）x²+2ACx+（C²-B²）=0，∴x₁x₂=

C2-B2

A2+B2

；
由

Ax+By+C=0 x2+y2=1

消去x，得（A²+B²）y²+2BCy+（C²-A²）=0，∴y₁y₂=

C2-A2

A2+B2

；
∴

OP

•

PQ

=x₁x₂+y₁y₂=

C2-B2

A2+B2

+

C2-A2

A2+B2

=

2C2-A2-B2

A2+B2

，
∵A²，C²，B²成等差数列，
∴2C²=A²+B²，
∴

OP

•

PQ

=0．
故答案为：0．

点评：本题考查向量的数量积公式、二次方程的韦达定理、直线与圆的位置关系，属于基础题．