Question

11．在△ABC中，若sin²B+$\sqrt{2}sinBsinC={sin^2}A-{sin^2}$C，则A的值为$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知的等式，得到关于a，b及c的关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出的关系式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．

解答 解：根据正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
化简已知的等式得：b²+$\sqrt{2}$bc=a²-c²，即b²+c²-a²=-$\sqrt{2}$bc，
∴根据余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{3π}{4}$．
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．