Question

2．已知关于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0，根据下列条件，分别求出k的值．
（1）方程两实根的积为5；
（2）方程的两实根x₁，x₂满足|x₁|=x₂．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质和根的判别式即可求出k的值，
（2）分两种情况讨论，①当x₁≥0时，②当x₁＜0时，求出k的值．

解答 解：（1）∵方程两实根的积为5，
∴$\left\{\begin{array}{l}△={[-（k+1）]^2}-4（\frac{1}{4}{k^2}+1）≥0\\{x_1}{x_2}=\frac{1}{4}{k^2}+1=5\end{array}\right.⇒k≥\frac{3}{2}$，k=±4．
∴当k=4时，方程两实根的积为5．
（2）由|x₁|=x₂得知：
①当x₁≥0时，x₁=x₂，故方程有两相等的实数根，故△=0⇒k=$\frac{3}{2}$，
②当x₁＜0时，-x₁=x₂，即x₁+x₂=0，则k+1=0，解得k=-1，由于△＞0时，k＞$\frac{3}{2}$，
故k=-1不合题意，舍去，
故方程有两相等的实数根，故△=0⇒k=$\frac{3}{2}$，
综上可得，$k=\frac{3}{2}$时，方程的两实根x₁，x₂满足|x₁|=x₂．

点评 本题考查了二次函数的性质和方程根的情况，属于基础题．