Question

3．设椭圆C过焦点$（0，\sqrt{3}），（0，-\sqrt{3}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过点M（0，1）的直线l交椭圆C于点A、B，O是坐标原点，点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）；求：
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C过焦点$（0，\sqrt{3}），（0，-\sqrt{3}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出c，a，可得b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）设出直线l的方程，A，B的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出x₁+x₂，利用直线方程表示出y₁+y₂，然后利用$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）求得$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）的坐标，设出P的坐标，然后联立方程消去参数k求得x和y的关系式，P点轨迹可得．

解答 解：（1）由题意，c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=2，
∴b=1，
∴椭圆C的标准方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，
①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
椭圆：4x²+y²-4=0
由直线l：y=kx+1代入椭圆方程得到：
（4+k²）x²+2kx-3=0，
x₁+x₂=-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{8}{4+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）得：（x，y）=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂，y₁+y₂），
即：x=-$\frac{k}{4+{k}^{2}}$，y=$\frac{4}{4+{k}^{2}}$
消去k得：4x²+y²-y=0
当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程，
所以动点P的轨迹方程为：4x²+y²-y=0．

点评 本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．