Question

15．已知a，b，c∈R⁺，满足ab=1，c（a+b+c）=1，则c的最大值是$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 先根据基本不等式得到a+b≥2$\sqrt{ab}$=2，继而由c（a+b+c）=1得到（c+2）²≤2，问题得以解决．

解答 解：∵a，b，c∈R⁺，满足ab=1，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$=2，
∴c（a+b+c）≥c（2$\sqrt{ab}$+c）=c（c+2）=c²+2c=（c+1）²-1
∵c（a+b+c）=1，
∴（c+1）²-1≤1，
∴（c+1）²≤2，
∴0＜c≤$\sqrt{2}$-1，
∴c的最大值是$\sqrt{2}$-1，
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了基本不等式的应用，关键是得到（c+1）²≤2，属于中档题．