Question

18．已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n，且${a_3}-{a_1}=2\sqrt{3}$，则$\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+…+\frac{1}{a_n^2}$=（　　）

• A． $1-\frac{1}{4^n}$
• B． $\frac{1}{4}（{4^n}-1）$
• C． $\frac{3}{2}（1-\frac{1}{2^n}）$
• D． $\frac{1}{16}（1-\frac{1}{4^n}）$

Answer 1

分析 由题意可得数列{a_n}为公比q为2的等比数列，运用等比数列的通项公式可得首项，由等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：数列{a_n}满足a_n+1=2a_n，且${a_3}-{a_1}=2\sqrt{3}$，
可得数列{a_n}为公比q为2的等比数列，
可得a₁q²-a₁=2$\sqrt{3}$，解得a₁=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
则$\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+…+\frac{1}{a_n^2}$
=$\frac{\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}（1-\frac{1}{{q}^{2n}}）}{1-\frac{1}{{q}^{2}}}$=$\frac{\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=1-$\frac{1}{{4}^{n}}$．
故选：A．

点评 本题考查等比数列的定义和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．