Question

已知平面向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（2sinx，-2cosx），

c

=

a

+m

b

，

d

=cos2x•

a

+sinx•

b

，f（x）=

c

•

d

，x∈R．
（1）当m=2时，求y=f（x）的取值范围；
（2）若f（x）的最大值是7，求实数m的值；
（3）（仅理科同学做，文科同学不做）若f（x）的最大值是g（m），对任意的m∈R，都有g（m）≥km-3恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意求得f（x）=-2（sinx-m）²+1+2m²，令t=sinx，则-1≤t≤1，则f（x）=h（t）=-2（t-m）²+1+2m² ，当m=2时，h（t）=-2（t-2）²+9，再利用二次函数的性质求得f（x）的值域．
（2）由于h（t）=-2（t-m）²+1+2m² 的图象的对称轴为t=m，再分对称轴在[-1 1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别根据f（x）的最大值是7求得m的值．
（3）由（2）知g(m)=

-4m-1，m＜-1 2m2+1，-1≤m≤1 4m-1，m＞1

，再分类讨论求得g（m）的最小值，由g（m）的最小值大于或等于km-3，求得k的范围．

解答： 解：（1）由题意知|

a

|=1，|

b

|=2，

a

•

b

=0，f(x)=

c

•

d

=cos2x

a

2+msinx

b

2=cos2x+4msinx=-2sin2x+4msinx+1=-2（sinx-m）²+1+2m²．
令t=sinx，则-1≤t≤1，则h（t）=-2（t-m）²+1+2m² ，
当m=2时，h（t）=-2（t-2）²+9在[-1，1]上递增，则h（t）∈[h（-1），h（1）]，即f（x）的范围为[-9，7]．
（2）①当m＜-1时，h（t）=-2（t-m）²+1+2m²在[-1 1]上单调递减，h（t）_max=h（-1）=-4m-1；-4m-1=7，所以m=-2满足条件．
②当-1≤m≤1时，h（t）=-2（t-m）²+1+2m²在[-1 1]上先增后减，h(t)max=h(m)=2m2+1；2m²+1=7，则m=±

6

，不满足条件．
③当m＞1时，h（t）=-2（t-m）²+1+2m²在[-1 1]上单调递增，h（t）_max=h（1）=4m-1；由4m-1=7，求得m=2，满足条件．
综上，m=±2．
（3）由（2）知g(m)=

-4m-1，m＜-1 2m2+1，-1≤m≤1 4m-1，m＞1

，
①当m＞1时，4m-1＞km-3得k＜4+

2

m

，即k≤4；
②当m＜-1时，-4m-1＞km-3得k＞-4+

2

m

，即k≥-4；
③当-1≤m≤1时，2m²+1＞km-3．
i）当-1≤m＜0时，k＞2m+

4

m

，所以k＞-6；
ii）当m=0时，k∈R，
iii）当0＜m≤1时，k＜2m+

4

m

，所以k＜6，
综上，实数k的取值范围是-4≤k≤4．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，注意分类的层次，属于中档题．