Question

6．2016年10月28日，经历了近半个世纪风雨的南京长江大桥真“累”了，终于停下来喘口气了，之前大桥在改善我们城市的交通状况方面功不可没．据相关数据统计，一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到280辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时．研究表明，当30≤x≤280时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤280时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）设v（x）=ax+b．利用x的范围，列出方程组求解a，b，即可得到函数的解析式．
（2）求出车流量f（x）=v（x）•x的表达式，然后求解最大值即可．

解答 解：（1）由题意，得当0≤x≤30时，v（x）=50；
当30＜x≤280时，
设v（x）=ax+b．
由已知$\left\{\begin{array}{l}{280a+b=0}\\{30a+b=50}\end{array}\right.$，解得a=-0.2，b=56，
故函数v（x）的表达式为v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{50，0≤x≤30}\\{-0.2x+56，30＜x≤280}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=x•v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{50x，0≤x≤30}\\{（-0.2x+56）x，30＜x≤280}\end{array}\right.$，
当0≤x≤30时，f（x）≤1500．
当30＜x≤280时，f（x）=-0.2（x-140）²+3920，∴x=140，f（x）_max=3920
∴车流密度x为140，f（x）=x•v（x）可以达到最大为3920．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，二次函数的性质以及最值的求法，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．