Question

14．已知A={x|x²-2x-3＜0}，B={x||x-1|＜a}．
（1）若A?B，求实数a的取值范围；
（2）若B?A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，集合B，根据A?B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
（2）根据B?A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：由题意：集合A={x|x²-2x-3＜0}={|x|-1＜x＜3}，
集合B={x||x-1|＜a}={x|-a＜x-1＜a}={x|1-a＜x＜1+a}．
∵A≠∅，A?B，
∴B≠∅．
则有：$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜-1}\\{1+a≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-a≤-1}\\{3＜1+a}\end{array}\right.$
解得：a＞2．
故得实数a的取值范围是（2，+∞）．
（2）由（1）可得：A={|x|-1＜x＜3}，集合B={x|1-a＜x＜1+a}
∵B?A，A≠∅，
∴当B=∅时，满足题意，此时1-a≥1+a，解得：a≤0．
当B≠∅时，要使B?A成立，则有：$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞-1}\\{1+a≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-a≥-1}\\{3＞1+a}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜2．
综上所述：实数a的取值范围是（-∞，2）．

点评 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．注意空集的问题．