Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=

2

AB=2，且V_A-PED=

1

3

时，确定点E的位置，即求出

PE

EB

的值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明AC⊥平面PDB，即可证明平面AEC⊥平面PDB；
（2）利用V_A-PED=

1

3

，求出△PED的面积，再求出PE，EB，即可求出

PE

EB

的值．

解答： （（1）证明：∵四边形ABCD是正方形ABCD，∴AC⊥DB．
∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩PB=P，
∴AC⊥面PDB，
∵AC?面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB；
（2）解：设AC∩BD=O，则AO⊥BD
∵AO⊥PD，BD∩PD=D，
∴AO⊥面PDE，
∵AO=1，V_A-PED=

1

3

•AO•S_△PDE=

1

3

，
∴S_△PDE=1
在直角三角形ADB中，DB=PD=2，则PB=

2

∴Rt△PDB中斜边PB的高h=

2

，
∴

1

2

•h•PE=1，
∴PE=

2

，
∴

PE

EB

=1
即E为PB的中点．

点评：本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．