Question

13．若不等式（ax+3）（x²-b）≤0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，则（　　）

• A． ab²=9
• B． a²b=9，a＜0
• C． b=9a²，a＜0
• D． b²=9a

Answer 1

分析 设f（x）=ax+3，g（x）=x²-b，分别讨论a=0，b=0时的情况，结合图象判断即可．

解答 解：∵（ax+3）（x²-b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴当x=0时，不等式等价为-3b≤0，即b≥0，
当x→+∞时，x²-b＞0，此时ax+3＜0，则a＜0，
设f（x）=ax+3，g（x）=x²-b，
若b=0，则g（x）=x²＞0，
函数f（x）=ax+3的零点为x=-$\frac{3}{a}$，则函数f（x）在（0，-$\frac{3}{a}$）上f（x）＞0，此时不满足条件；
若a=0，则f（x）=3＞0，而此时x→+∞时，g（x）＞0不满足条件，故b＞0；
∵函数f（x）在（0，-$\frac{3}{a}$）上f（x）＞0，则（-$\frac{3}{a}$，+∞））上f（x）＜0，
而g（x）在（0，+∞）上的零点为x=$\sqrt{b}$，且g（x）在（0，$\sqrt{b}$）上g（x）＜0，
则（$\sqrt{b}$，+∞）上g（x）＞0，
∴要使（ax+3）（x²-b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
则函数f（x）与g（x）的零点相同，即-$\frac{3}{a}$=$\sqrt{b}$，
∴a²b=9，
故选：B．

点评 本题考查了构造方法、考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．