Question

17．已知函数f（x）=$sinx（cosx-\sqrt{3}sinx）$．
（Ⅰ）求$f（\frac{π}{6}）$的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[$0，\frac{π}{2}$]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先进行化简，利用代入法进行求解即可．
（Ⅱ）求出角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，$f（x）=sinx•cosx-\sqrt{3}{sin^2}x$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}（1-cos2x）}}{2}$…（2分）
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（4分）
由此可知，$f（\frac{π}{6}）=0$．…（6分）
（Ⅱ）由$0≤x≤\frac{π}{2}$可知，$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$，进而$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{2x+\frac{π}{3}}）≤1$，…（8分）
当$0≤x≤\frac{π}{2}$时，$f（x）∈[-\sqrt{3}，1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$，…（9分）
所以函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值为$1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，最小值为$-\sqrt{3}$． …（13分）

点评 本题主要考查三角函数的化简和求解，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．