Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过M（

2

，0），N（0，1）两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，求

PF1

•

PF2

的最大值；
（3）过点D（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，若点E（0，

11

4

），求证：对任意k²＞

3

2

，

AE

•

BE

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于椭圆C经过点M（

2

，0），N（0，1），则a=

2

，b=1．即可得到椭圆方程；
（2）求出焦点坐标，运用数量积的坐标公式求出

PF1

•

PF2

，再由椭圆的性质，即可得到最大值；
（3）设经过D（0，2）且斜率为k的直线l：y=kx+2，联立椭圆方程，消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理，以及向量的坐标，运用数量积的坐标公式，化简整理，即可得到定值．

解答： （1）解：由于椭圆C经过点M（

2

，0），N（0，1），则a=

2

，b=1．
故椭圆C的方程为：

x2

2

+y²=1；
（2）解：由（1）知，a=

2

，b=1．c=1，则F₁（-1，0），F₂（1，0），
设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x²+y²-1
=x²+1-

x2

2

-1=

1

2

x²，
由于x∈[-

2

，

2

]，当x=±

2

，
即P为椭圆长轴的端点时，则

PF1

•

PF2

有最大值1；
（3）证明：设经过D（0，2）且斜率为k的直线l：y=kx+2，联立椭圆方程，消去y，
得（1+2k²）x²+8kx+6=0，又k²＞

3

2

，
则△=64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

-8k

1+2k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

，
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-

2k2-4

2k2+1

，
y₁+y₂=（kx₁+2）+（kx₂+2）=k（x₁+x₂）+4=

4

2k2+1

，
又E（0，

11

4

），则

AE

=（-x₁，

11

4

-y₁），

BE

=（-x₂，

11

4

-y₂），
则有

AE

•

BE

=x₁x₂+

121

16

-

11

4

•（y₁+y₂）+y₁y₂
=

6

1+2k2

+

121

16

-

11

4

•

4

2k2+1

-

2k2-4

2k2+1

=

105

16

．
故对任意k²＞

3

2

，

AE

•

BE

为定值．

点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查平面向量的运用，主要是数量积的坐标公式的运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，化简计算，考查运算能力，属于中档题．