Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥AC，AD⊥CD，且AD=CD=2

2

，PA=2，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角M-AC-D的大小为45°，试确定点M的位置．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出PA⊥AC，PA⊥AB，从而得到AC⊥平面PAB，由此能证明AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明点M为线段PD的中点．

解答： （Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，AC，AB?平面ABCD，
所以 PA⊥AC，PA⊥AB，…（2分）
又因为PB⊥AC，PA⊥AC，PA，PB?平面PAB，PA∩PB=P，
所以AC⊥平面PAB，…（3分）
又因为AC⊥平面PAB，AB?平面PAB，
所以AC⊥AB，…（4分）
因为AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
所以AB⊥平面PAC．…（6分）
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BA⊥AC，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），C（0，4，0），D（-2，2，0），P（0，0，2），

PD

=(-2，2，-2)，

AC

=(0，4，0)，
设M（x，y，z），

PM

=t

PD

，则（x，y，z-2）=t（-2，2，-2），
故点M坐标为（-2t，2t，-2t），

AM

=(-2t，2t，2-2t)，…（8分）
设平面MAC的法向量为

n1

=（x，y，z），则

AC • n1 =0 AM • n1 =0

，…（9分）
所以

4y=0 -2tx+2ty+(2-2t)z=0

，
令z=1，则

n1

=（

1-t

t

，0，1）．…（10分）
又平面ACD的法向量

n2

=（0，0，1），
所以cos45°=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2

2

，解得t=

1

2

，
故点M为线段PD的中点．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角为45°时点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．