Question

学校运动队有男运动员5名，女运动员3名，其中男女队长各1名．
（Ⅰ）8人站成一排，其中队长不站在两端，有多少种不同的站法？
（Ⅱ）要从8名运动员中，选派3人外出比赛，若男队长因故不能参加、且必须有女运动员参加，有多少种不同的选派方法？

Answer 1

考点：排列、组合及简单计数问题,计数原理的应用

专题：排列组合

分析：（Ⅰ）8人站成一排，其中队长不站在两端，先排队长，再排其他，根据分步计数原理可得．
（Ⅱ）可以利用直接法，分男队长因故不能参加但必须有女运动员参加”包括以下几种情况，1女2男，2女1男，3女2，由分类加法计数原理可得；
可以利用间接法，先不考虑“必须有女运动员参加”的条件，从7人中任选3人，再排除全是男运动员的选法，问题得以解决．

解答： 解：（Ⅰ）先在中间的6个位置中选两个，排上队长，方法有

A

2 6

=30种；
其余的人任意排，方法数有

A

6 6

=7200种，
再根据分步计数原理，共有30×7200=21600种不同的站法． 
（Ⅱ）法一：（直接法）：
“男队长因故不能参加但必须有女运动员参加”包括以下几种情况，
1女2男，共有

C

1 3

•

C

2 4

=18种不同的选派方法，
2女1男，共有

C

2 3

•

C

1 4

=12种不同的选派方法，
3女，共有

C

3 3

=10种不同的选派方法．
由分类加法计数原理知，共有18+12+1=31（种）选法
法二：（间接法），
不考虑“必须有女运动员参加”的条件，从7人中任选3人，有

C

3 7

种选法，
其中全是男运动员的选法有

C

3 4

种选法，
故“男队长因故不能参加但必须有女运动员参加”共有

C

3 7

-

C

3 4

=31（种）选法

点评：本题考查分步、分类计数原理，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列