题目内容
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05．
（1）分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
（2）已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示：
且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（1）的条件下，使z=xP甲+yP乙最大时，求从所生产的所有产品中任取3件至少有一件甲产品的概率．
（1）分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
（2）已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示：
| 项目用量产品 | 工人（名） | 资金（万元） |
| 甲 | 4 | 20 |
| 乙 | 8 | 5 |
考点：古典概型及其概率计算公式,简单线性规划
专题：概率与统计
分析：（1）根据已知中甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05，构造关于P甲，P乙的方程线，解得答案；
（2）根据题意，列出相应的不等式组，作出不等式组对应的区域，根据目标函数的特征用线性规划的相关知识找到最优解．进而求出所生产的所有产品中任取3件的基本事件总数和至少有一件甲产品事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
（2）根据题意，列出相应的不等式组，作出不等式组对应的区域，根据目标函数的特征用线性规划的相关知识找到最优解．进而求出所生产的所有产品中任取3件的基本事件总数和至少有一件甲产品事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
解答：
解 （1）依题意得
，
解得
，
故甲产品为一等品的概率P甲=0.65，乙产品为一等品的概率P乙=0.4．…（4分）
（2）依题意得x，y应满足的约束条件为
且z=0.65x+0.4y．
作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．
作直线l0：0.65x+0.4y=0，即13x+8y=0，
把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，此时z取得最大值．
解方程组
得x=2，y=3．
故M的坐标为（2，3），
所以z取得最大值．…（9分）
当x=2，y=3时，事件空间有事件数10，则至少有一件甲产品的概率为：p=1-
=
．
因此，此时从所生产的所有产品中任取3件至少有一件甲产品的概率为
．…（13分）
解 （1）依题意得
|
解得
|
故甲产品为一等品的概率P甲=0.65，乙产品为一等品的概率P乙=0.4．…（4分）
（2）依题意得x，y应满足的约束条件为
|
作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．
作直线l0：0.65x+0.4y=0，即13x+8y=0，
把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，此时z取得最大值．
解方程组
|
故M的坐标为（2，3），
所以z取得最大值．…（9分）
当x=2，y=3时，事件空间有事件数10，则至少有一件甲产品的概率为：p=1-
| 1 |
| 10 |
| 9 |
| 10 |
因此，此时从所生产的所有产品中任取3件至少有一件甲产品的概率为
| 9 |
| 10 |
点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，线性规划，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．
练习册系列答案
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