Question

5．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，0]$上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简函数，即可求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）因为$-\frac{π}{2}≤x≤0$，所以$-\frac{5π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{6}$，即可求f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，0]$上的最大值与最小值．

解答 解：（I） $f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$，…（2分）
=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．…（4分）
所以$T=\frac{2π}{2}=π$．…（5分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，…（6分）
得：$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$．…（7分）
所以f（x）得最小正周期为π，单调递增区间为$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$．…（8分）
（II）因为$-\frac{π}{2}≤x≤0$，
所以$-\frac{5π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{6}$，…（2分）
因此，当$2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{2}$，即$x=-\frac{π}{3}$时，f（x）的最小值为$-\frac{1}{2}$；  …（4分）
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，即x=0时，f（x）的最大值为1．…（5分）

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．