Question

4．若函数f（x）=log_a（x³-2x）（a＞0且a≠1）在区间（-$\sqrt{2}$，-1）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递减区间为（　　）

• A． （-∞，-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$），（$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，+∞）
• B． （-$\sqrt{2}$，-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$），（$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （-$\sqrt{2}$，-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$），（$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，+∞）
• D． （-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$）

Answer 1

分析 求函数的定义域，利用换元法结合条件判断a的取值范围，利用复合函数和导数即可求出函数单调递减区间．

解答 解：设t=g（t）=x³-2x，
由t=0得x（x²-2）=0，
则x=0，或x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$，
由x³-2x＞0得-$\sqrt{2}$＜x＜0或x＞$\sqrt{2}$，
g′（t）=3x²-2，当-$\sqrt{2}$＜x＜-1时，g′（t）＞0，此时函数g（t）为增函数，
则0＜g（t）＜1，
若a＞1，则y=log_at＜0恒成立，则不满足条件f（x）＞0，
若0＜a＜1，则y=log_at＞0恒成立，满足条件，即0＜a＜1，
要求函数f（x）的单调递减区间，即求函数t=g（t）=x³-2x的递增区间，
由g′（t）=3x²-2＞0得x＜-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$或x＞$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∵-$\sqrt{2}$＜x＜0或x＞$\sqrt{2}$，
∴-$\sqrt{2}$＜x＜-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$或x＞$\sqrt{2}$，
即函数f（x）的单调递减区间为（-$\sqrt{2}$，-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$），（$\sqrt{2}$，+∞），
故选：B

点评 本题主要考查函数单调区间的求解决，利用换元法以及导数法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．