Question

某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=

400x- 1 2 x2，0≤x≤400 80000，x＞400

，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）
（1）将利润x表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据利润=收益-成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；
（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．

解答： 解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而利润f（x）=

300x- 1 2 x2-20000， 0≤x≤400 60000-100x， x＞400

；
（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x-

1

2

x2-20000=-

1

2

（x-300）²+25000，
∴当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f（x）=60000-100x是减函数，
∴f（x）=60000-100×400＜25000．
∴当x=300时，有最大值25000，
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．

点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．